La mise en fonctionnement d'un électro-aimant alimenté par une tension continue se fait en 3 phases :

• Augmentation du courant jusqu'à ce que la force électromagnétique soit
      suffisante, la durée de cette phase est t₁
• Déplacement du noyau mobile jusque la butée,
      la durée de cette phase est t₂
• Augmentation du courant jusqu'au courant maximum U₀/R,
      la durée de cette phase est t₃

Rδ : réluctance de l'entrefer U0 : tension DC d'alimentation L : inductance cste pour t < t1 Φ : flux d'entrefer m : masse noyau mobile Fmot :force magnétique motrice

Gδ : perméance de l'entrefer Id : courant de démarrage R : résistance du circuit S : section d'entrefer n : nombre de tour bobine Fmot : force résistante

G_δ = μ₀•S / δ ( Cas de petits entrefers δ et de grande surface S des pôles .)

Rδ = 1/Gδ L = n²/Rδ = n²•Gδ

n•I = Φ/Gδ Φδ = Bδ•S Fδ = Bδ²/2μ0S

L'inductance L de l'électroaimant est presque constante (entrefer maximal, on néglige la réluctance des portions d'acier du noyau). le flux magnétique Φ est faible et les portions d'acier ne sont pas saturées. La relation principale est celle du schéma électrique équivalent :

U₀ = R•i + L•∂i/∂t
Conditions initiales : à t=0, i=0

La première partie du processus s'arrète se termine lorsque l'intensité du courant de démarrage (inrush current) I_d est atteinte.
Soit t₁ le temps pour lequel i = I_d .

La résolution de l'équation différentielle donne : i = (U₀/L)•(1 - e^-(R•t/L))

==> t₁ = (L/R)•Ln[1/(1 - (R•I_d/U₀))]

I_d est déterminé par :

F_dém = F_res = Φ_d² /(2μ₀S) ==> Φ_d = √(2μ₀S•F_res)

Φd = √(2μ0S•Fres)   Φd•Rδ = n•Id

==> Id = (Rδ/n)•√(2μ0S•Fres)

Lors du déplacement de l'armature, l'entrefer et sa perméance varient, l'inductance de l'électro-aimant n'est pas constante. La variation de l'inductance de l'électroaimant L par suite de la diminution de l'entrefer lors du déplacement de l'armature, est identique à l'apparition d'une résistance électrique. la durée du déplacement de l'armature et la caractéristique d'effort dynamique peuvent être calculé en résolvant deux équations différentielles, l'une électrique , l'autre mécanique.

Equation de l'équilibre des tensions sur la bobine de l'électro-aimant :
U₀ = R•i + n•∂Φ/∂t

Equation du déplacement du système mobile :
m•∂²x/∂²t = F_mot - F_res

Durant le déplacement la caractéristique dynamique 2 se trouve en dessous de la caractéristique statique 1 car le courant dans la bobine est inférieure à la valeur établie.

En négligeant les chutes de tension résistives, l'équation électrique nous donne : Φ = Φ_d + (U₀/n)•t


En supposant que F_res = cste, on a :

Fmot = Φ² /(2μ0S)   Φ = Φd + (U0/n)•t   m•∂²x/∂²t = Fmot - Fres

==> m•∂²x/∂²t = Φd²/2μ0S + [(Φd•U0)/(n•μ0S)]•t + (U0²/2n²μ0S)•t² - Fres = [(Φd•U0)/(n•μ0S)]•t + (U0²/2n²μ0S)•t²

L'intégration de la relation précédente est simple :

m•∂²x/∂²t = [(Φd•U0)/(n•μ0S)]•t + (U0²/2n²μ0S)•t²   Pour t = 0, ∂x/∂t = 0 et x = 0

==> x = (U0Φd/6μ0•m•S•n)•t3 + (U0²/24μ0•m•S•n²)•t4

La résolution se fait en posant t⁴ ≈ t_2a•t³ , t_2a étant la solution où la force antagoniste est absente, F_res = 0 et Φ_d = 0
x = δ₀ - δ_f = (U₀²/24μ₀•m•S•n²)•t_2a⁴ ==> t_2a = (24μ₀•m•S•n²(δ₀ - δ_f)/U₀²)^1/4
d'où t₂ = (24μ₀•m•S•n²(δ₀ - δ_f) / [U0(4•Φ_d + U0•t_2a)])^1/3

Le noyau a fini son mouvement (entrefer minimal δ_f), la force électromagnétique qui croit jusqu'à la force de l'état statique ( tronçon bc ), conformément à l'accroissement du courant dans la bobine jusquà la valeur établie. Dans ce cas, le calcul de cette période se fait en reprenant la partie "Stade de démarrage" mais en changeant les conditions initiales

les rapports mentionnés ne tiennent pas compte de l'influence excercée sur le temps de fonctionnement par les courants de Foucault induits dans le noyau magnétique par un flux magnétique variable en régime transitoire. Ces courants freinent le fonctionnement des électro-aimants, car les flux dus à ces courants sont dirigés conformément à la loi de Lenz, à l'encontre du flux principal qui croit avec le temps.