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Thermique

Titre : Goutte d'encre (refroidissement)

 

Goutte d'encre





ink droplets deposit : schematics
Principe du dépôt d'encre.

Introduction

Une imprimante à jet d'encre émet des gouttes sphériques vers un circuit imprimé. Celles-ci se refroidissent sur leur parcours qui doit avoir une valeur telle que la goutte d'encre parvienne au circuit imprimé à une température déterminée. Dans cette partie, la goutte d'encre se déplace à vitesse constante.


  • Données :

  • goutte d'encre : Φ = 55 μm, ρ = 2400 kg/m³, C = 800 J/kg.K, k = 50 W/K.m, Tinit = 200 °C
  • air : T = 25 °C, ρ = 1.002 kg/m³, k = 0.0261 W/K.m, ν (viscosité cinématique) = 15.71e-6 m²/s, Pr = 0.708

Distance pour obtenir T = 50 °C ?

  • Quelle est la distance nécessaire pour parvenir à une température de 50 °C avant L'impact sous une vitesse constante durant toute la trajectoire ?


(a) Coefficients principaux

  1. Calcul de Re et de la vitesse de la goutte d'encre

    2. mg•d²x/d²t = Fgravitation - Fdéplacement - Ftraînée
    avec
    Fgravitation = ρencre•g•π(Φ³/6)
    Fdéplacement = ρair•g•π(Φ³/6)
    Ftraînée = 0.5•Cx•(πΦ²/4)•(ρairV²)

    Pour une vitesse constante, on a nécessairement : mg•d²x/d²t = 0, d'où en négligeant Fdéplacement ( ρair << ρencre ) :
    ρencre•g•π(Φ³/6) = 0.5•Cx•(πΦ²/4)•(ρairV²)

    Mais d'après la loi de Stokes pour une sphère :
    Cx = 24/Re. Le nombre de Reynolds étant égal à V•Φ/ν (vitesseair•Φsphère/viscosité cinématique), Cx = 24ν/V•Φ en remplaçant : ρencre•g•π(Φ³/6) = 0.5•(24ν/V•Φ)•(πΦ²/4)•(ρairV²)
    ⇒ V = (ρencre/ρair)•(g/ν)•(Φ²/18)
    Soit 0.252 m/s et Re = 0.88 .

  2. Estimation de Pr

    3. Pr est donné par la table A.4 "Thermophysical properties of gases at atmospheric pressure" en annexe du livre Fundamentals of Heat and Mass Transfer 7ème édition (Wiley). Par interpolation pour 298 K, Pr = 0.708.

  3. Estimation de ν (Nu)

    4. Re étant faible, on utilise la relation de corrélation Ranz and Marshall
    : Nu = 2 + 0.6•Re1/2•Pr1/3, soit Nu = 2.502.

(b) Coefficient h

En définitive, puisque h = Nu•(k/Φ) , h = 2.502×(0.0261÷55e-6) = 1187 W/K•m²

Le modèle est créé dans le problème "ex_7p6_ink_droplets.pbm", la température moyenne du volume est proche des températures de la périphérie et du centre, l'approximation faite dans l'exercice théorique (sphère ramenée à un point) est acceptable.


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Modèle QuickField™

Le type de modèle est axisymétrique et thermique transitoire. Depuis la version 6.3, la température initiale du système, si elle est uniforme peut être déclarée dans l'onglet "Problem Properties / Timing" soit 200 °C. Le pas de calcul est fixé à "automatic". La géométrie est simplissime :

Graphical representation of the ink droplet
Schématisation d'une goutte d'encre.

Après une simulation de 0.1 s, on exporte le tracé obtenu par le calcul "Average volume temperature" du contour importé du fichier "ex_7p6_ink_droplets.sst". Une conversion vers le format csv avec TkFab permet de mesurer le temps recherché (voir tableau ci-dessous) :

courbe de refroidissement de la goutte d'encre durant son trajet
Courbe de refroidissement.

Résultats

Avec QuickField™ on obtient :
vitesse = 0.252 m/s,
distance = 0.252 x 0.0315 = 7.94 mm,
tandis que le calcul théorique (avec l'approximation de la goutte ramenée à un point) donne :
vitesse = 0.252 m/s,
distance = 0.252 x 0.0293 = 7.38 mm


Caractéristique QuickField Calcul simplifié
Distance (mm) 7.94 7.38

Distance à parcourir


Il y a une légère différence, mais l'approximation faite dans l'exemple du livre de référence est tout à fait acceptable.

Fichiers

  • Téléchargement :


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