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Sommaire - Transient conduction


Chaque exemple comprend l'énoncé du problème, ses données, sa résolution. Il est possible de le lire ( et le résoudre avec Student's QuickField si le nombre de noeuds le permet !)
(*) exemple absent ayant une approche théorique sans application numérique.


( Ci-dessous , Bleu : information sans cliquer. Vert : lien interne. Orchid : lien externe. )


Ref : T. L. Bergman, D. P. Dewitt, F. P. Incropera, A. S. Lavine : Principles of Heat and Mass Transfer


 
Exemple 5.1 : Temps de réponse d'un thermocouple

Un thermocouple placé dans un flux de gaz chaud est assimilé à une sphère.

  • Données :
  • Coefficient de convection entre thermocouple et gaz : 400 W/K•m²
  • Température gaz : 200 °C
  • Température initiale du thermocouple : 25°C
  • Thermocouple : conductivité thermique, chaleur spécifique et masse volumique
  • Quel diamètre doit avoir le thermocouple pour avoir un temps de réponse inférieur à 5 secondes pour atteindre 199°C ?
  • Notes :
  • On utilise LabelMover pour faire varier le diamétre du thermocouple. La température sera déclarée en Kelvin.
  • LabelMover , dans les versions récentes de QuickField™ ne prend pas en compte la température initiale globale, un problème complémentaire donnant la température initiale à t = 0 est donc nécessaire.
  • Réponses :
  • Réponse exemple :
    Diamètre = 0.7 mm.
  • Réponse simulation :
    Diamètre = 0.62 mm.
parametric analysis - thermocouple

Température (K) @ 5 s vs. diamètre (mm)


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Exemple 5.2 : Temps de réponse d'un thermocouple

Le thermocouple de l'exemple 5.1 est placé dans un flux de gaz chaud dans une enceinte à 400°C.

  • Données :
  • Coefficient de convection entre thermocouple et gaz : 400 W/K•m²
  • Température gaz : 200 °C
  • Température initiale du thermocouple : 25°C
  • Thermocouple : conductivité thermique, chaleur spécifique émissivité et masse volumique
  • Quel est la température du thermocouple au bout de 5 secondes pour des coefficients de convection thermique de 200, 400 et 800 W/K•m² ?
  • Notes : Le temps de calcul se fait par pas de 0.25 s.
  • Réponse :
h W/K•m² simulation exemple
200 224.3 -
400 217.7 217.7
800 209.6 -

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Exemple 5.3 : Revêtement epoxy (traitement thermique)

Une plaque d'aluminium est revêtue d'une couche époxy. Pour la fixation de cette couche, celle-ci doit être maintenue à 150°C durant au moins 5 minutes. Puis la plaque est disposée dans l'air ambiant.

  • Données :
  • première étape : entrée enceinte
    • h = 40 W/K•m²
    • Tenceinte= 175°C
  • seconde étape : sortie enceinte
    • h = 10 W/K•m²
    • Tenvironnement= 25°C
  • Aluminium : k = 177 W/K•m, ρ = 2770 kg/m³,
      C = 875 J/kg•K.
  • Epoxy : émissivité = 0.8, épaisseur 3 mm.
  • Quel est le temps total du procédé pour que la température finale soit de 37°C et rendre la plaque manipulable ?
  • Notes : Pour être suffisament précis, le temps de calcul se fait par pas de 5 s. On réalise une première simulation pour afficher une table "time table" T = f(t) d'un point de la plaque. Les temps entre lesquels la température est 150°C sont notés, ici 130 et 430 ( 130 + 5 mn ) secondes. Ce dernier temps défini le temps de sortie de la plaque.
  • Réponses :
  • Réponse exemple : 989 secondes
  • Réponse simulation : 1000 secondes
temperatures plot

Caractéristique thermique du process

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Exemple 5.4 : Gouttelettes pathogènes (inhibition thermique)

La température léthale de particules assimilées à des gouttelettes pathogènes est 220°C. Celles-ci passent rapidement dans un compresseur pour être inhibées.

  • Données :
  • gouttelette :
    • Ø = 10 µm
    • k = 0.2 W/K•m
    • ρ = 900 kg/m³
    • C = 1100 J/kg•K
  • Echanges thermiques
    • h = 4600 W/K•m²
    • Tenvironnement (°C) = 125 - 100•cos(2πt/tp)
    • tp = 0.004 s
    • h = 4600 W/K•m²
    • Le rayonnement thermique est négligé
  • Le cycle est-il compatible avec la destruction de ces particules ?
  • Réponses :
  • Réponse exemple : non, car la température max atteinte est 212°C
  • Réponse simulation : non, car la température max atteinte est 209°C
  • Notes : Le livre cité ci-dessus propose deux solutions : numérique ou litérale. Dans QuickField™ il suffit d'écrire directement les équations comme "formules" comme par exemple les conditions limites sur la surface des gouttelettes. (voir ci-dessous)
temperatures plot

Conditions limites à la surface du modèle de particule


temperatures plot

Caractéristique thermique du procédé

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Exemple 5.5 : Pipeline (pertes thermiques)

Un pipeline dans les conditions initiales du froid admet un fluide dont la température est connue. Un modèle est défini pour estimer les pertes dues à l'échauffement du tube.

  • Données :
  • pipeline :

    • Ø = 1 m
    • épaisseur = 40 mm
    • k = 63.9 W/K•m
    • ρ = 7832 kg/m³
    • C = 434 J/kg•K

  • Echanges thermiques :

    • Tenvironnement (°C) = -20°C
    • Tfluide (°C) = 60°C
    • h = 500 W/K•m²
    • Le pipeline est isolé thermiquement
  • Notes : La solution litérale modélise le pipeline comme un plan séparant fluide et environnement de même épaisseur. D'autre part le modèle donné ici par les éléments finis tient compte de la variation de la conductivité et capacité thermiques en fonction de la température, voir ci-contre. La différence dans les valeurs trouvées est donc représentative des méthodes utilisées, donc de la précision souhaitée. Le postprocesseur de QuickField™ ne permet pas de calculer l'énergie cédée au pipeline. Ceci sera fait ultérieurement avec l'aide de TkFab.
  • Après 8 mn : quels sont la température externe, le flux thermique et l'énergie transférée au pipeline ?
  • Réponses :
  • Exemple : 42.9°C, -7400 W/m² et -2.73•107 J/m
  • Simulation : 40.7°C, -5850 W/m² et "calcul à faire ultérieurement avec TkFab"

kacier = f(T) Cacier = g(T)
temperatures plot temperatures plot

temperatures plot

Flux thermique en fonction du temps (1/4 surface)

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Exemple 5.6 : Traitement thermique

Une sphère en oxyde de métal est sortie d'un four à 400°C, puis laissée à l'air ambiant (25 °C). Une fois une température de 335°C atteinte, elle est brutalement trempée dans de l'eau à 20°C.

  • Données :
  • sphère :

    • rayon = 5 mm
    • k = 20 W/K•m
    • ρ = 3000 kg/m³
    • C = 1000 J/kg•K

  • Echanges thermiques :

    • hair (°C) = 10 W/K•m²
    • heau (°C) = 6000 W/K•m²
  • Quel est la durée pour atteindre 335°C ? Quel temps faut-il pour que le centre de la sphère atteigne 50°C une fois plongée dans l'eau ? transférée au pipeline ?

La sphère est modélisée comme ci-dessous :

modelling heat treatment

Modèle axisymétrique de la sphère.

  • Notes : L'exemple utilise une approche théorique oû la température dans la sphère est supposée uniforme, la simulation est ici plus précise.
  • Téléchargement : Fichiers Pro (≅ 350 noeuds)   (400 Ko) - une version "student" est possible avec une symétrie avec l'axe des "y", soit un quart de sphère

Pour trouver la solution, on procède en trois étapes :

  • Refroidissement à 20 °C (air) pendant 150 s
  • Refroidissement à 20 °C (eau) pendant encore 50 s
  • Mesure du temps tel que Tsphere = 335°C

Initialement, la définition du coefficient de convection de la surface de la sphère est :

α = 10×impulse(t,0,150) + 6000×impulse(t,150,200)

temperature plot

Tracé avec TkFab® de la température en (0,0)

solving @ y = 335

Valeur de t tel que T° = 335°C

Le coefficient de convection de la surface de la sphère étant :

10×impulse(t,0,97.25) + 6000×impulse(t,97.25,200)

on obtient :

solving @ y = 335 and y = 50

Valeurs de t tel que T° = 335°C, puis T° = 50°C

  • Réponses :
  • Exemple : t335°C = 94 s, t50°C = 97.1 s ( durée à 50°C : 3.1 s)
  • Simulation : t335°C = 97.8 s, t50°C = 100.6 s ( durée à 50°C : 2.8 s)
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Exemple 5.7 : Contact rapide entre deux surfaces

Un(e) marcheur(se) pose un pied nu sur une dalle au soleil, on compare un matériau 1 avec un matériau 2 afin de vérifier que la température après une seconde de contact soit plus faible avec le matériau 2. Les matériaux sont considérés comme homogènes (béton avec différents agrégats)

  • Données :
  • Dalle au soleil :

    • k = 1.4 W/K•m (mat. 1), 0.28 W/K•m (mat. 2)
    • ρ = 2300 kg/m³ (mat. 1), 1495 kg/m³ (mat. 2)
    • C = 880 J/kg•K (mat. 1), 880 J/kg•K (mat. 2)

  • Pied (épiderme) :

    • k = 0.3 W/K•m
    • ρ = 993 kg/m³
    • C = 4178 J/kg•K
    • Epaisseur d'observation = 3 mm
  • Au bout d'une seconde, quelle est la température à la surface de l'épiderme ?

Le contact pied /dalle est modélisé comme ci-dessous :

foot sole model

Modèle de contact avec Tepiderme ≠ Tdalle.

  • Notes : Le modèle est initialisé avec deux volumes à des températutes différentes. Un problème *_init.pbm est utilisé o la géométrie des deux volumes doit être séparée. Le modèle a la particulatité d'utiliser la condition initiale "Even periodic T1 = T2".
    Les blocks "dalle type 1" et "dalle type 2" sont choisis selon le matériau à utiliser.

La température est relevée au plus près de la surface de l'épiderme :

temperature measurement

Time plot : mesure en x = 0.0, y = 3.001.

  • Réponses :
Matériau simulation exemple
1 47.8 °C 47.8 °C
2 43.3 °C 43.3 °C

Les valeurs ci-dessus sont obtenues en exportant le tableau de valeurs "Time plot" en en x = 0.0, y = 3.001 et en relevant la valeur de la température en t = 1s.

T=f(T) plot : @ x = 0.0, y = 3.001

Tracé de la température pour les deux matériaux

  • Téléchargement :
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Exemple 5.9 : Laser contre tumeur

Un traitement contre le cancer utilise des nanoparticules qui absorbent un rayonnement laser à des longueurs d'onde bien définies. Avant traitement, des anticorps sont liés à ces nanoparticules; ceux-ci permettent aux nanoparticules d'adhérer aux tumeurs à détruire.
Le rayonnement laser traverse les différents tissus, il est absorbé par les nanoparticules qui s'échauffent et détruisent les tumeurs par simple effet thermique.

  • Données :
  • Tumeur :

    • forme sphérique Φ = 3 mm , k = 0.5 W/K•m
    • ρ = 989.1 kg/m³ C = 4180 J/kg•K
    • absorption de tout le rayonnement laser

  • Tissu :

    • k = 0.5 W/K•m
    • ρ = 989.1 kg/m³ C = 4180 J/kg•K
    • C = 4178 J/kg•K
    • Autres échanges thermiques négligés

La température initiale est de 37°C.

  • Questions :
  • (Q1) Quel est le flux thermique nécessaire pour que la température de la tumeur atteigne 55°C ?
  • (Q2) Quel est le temps nécessaire pour que la température y atteigne 55 - 3 = 52°C (3 °C d'erreur), la tumeur étant supposé isolée ?
  • (Q3) Quel est le temps nécessaire pour que la température y atteigne 55 - 3 = 52°C (3 °C d'erreur), en prenant en compte le tissu environnant ?

La tumeur dans le tissu est modélisé comme ci-dessous :

laser/tumor  model

Modèle simplifié de tumeur.

  • Notes Q1 : Le segment ( edge ) "tumeur" est la partie la plus importante du modèle. Pour la première question, on y imposera la température de 55°C pour relever le flux thermique (problème ex_5p9_laser_against_tumor_q1.pbm) et pour les autres questions on y imposera un flux thermique sur seulement 90° pour modéliser l'impact laser (problème ex_5p9_laser_against_tumor_q3.pbm).
    La géométrie est axisymétrique.

  • Notes Q2 + Q3 : La puissance calculée pour la question Q1 est reportée dans son label pour la partie transitoire sous la formule :
    25300*cos(phi)*step(90-phi)
    avec 25300 W/m² = 4•0.179/(π•D²tumeur), la section "vue" de la tumeur étant π•(D²tumeur/4), step(90-phi) exprimant que seule la moitié de la surface est irradiée par le laser.
    Le même problème est utilisé pour les deux questions, en Q2, le block "tissu" n'est pas défini "(none)", à contrario de la question Q3.
  • Réponse question 1 :
caractéristique simulation exemple
puissance thermique (W) 0.179 0.170

Les valeurs ci-dessus sont obtenues en définissant un contour sur le segment "tumeur".

Contour for integral calculator : heat flux

Q1 : relevé de la puissance thermique nécessaire


  • Réponse question 2 et 3 :
caractéristique simulation exemple
durée (Q2) 4.9 s (5.2 si P = 0.17 W) 5.16 s
durée (Q3) 147 s (222 si P = 0.17 W) 192 s

  • La différence des durées pour obtenir 52°C vient du modèle théorique qui en assimilant la tumeur à un point ne tient pas compte de la répartition de température dans la tumeur. Les résultats de la simulation sont calculés avec la valeur moyenne volumique de la température, or lorsqu'on atteint une moyenne de 52 °C, une partie de la tumeur est déjà à 67°C alors qu'une autre partie important n'a pas atteint 46°C (voir image ci-dessous).
Temperature distribution in tumor

Températures dans la tumeur @ t ≅ 200 s

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Exemple 5.10 : Nanomatériau - méthode 3ω

La méthode 3ω (3ω method) permet d'évaluer la résistivité thermique de matériau par mesure de températures par l'utilisation d'une source thermique sinusoidal. Par exemple une source de courant générant une puissance thermique par effet Joule. La mesure est faite deux fréquences et la relation

ΔT = (Δqs/L•π•k)×(-0.5•ln(ω/2) + C2)

est résolue avec ces deux applications numériques o k et C2 sont les inconnues. Dans cet exemple, le modèle vérifiera les résultata théoriques sur une fine structure en nanomatériau sur laquelle se trouve une piste conductrice.

  • Données :
  • Substrat :

    • épaisseur = 300 µm, longueur = 3.5 mm, largeur : non donné
    • ρ = 3100 kg/m³ C = 820 J/kg•K
    • absorption de tout le rayonnement laser

  • Piste :

    • épaisseur = 3000 Å, largeur = 100 µ
    • ρ : non donné, C : non donné, k : non donné
    • C = 4178 J/kg•K
    • Autres échanges thermiques négligés

  • Source électrique :

    • puissance thermique = Δqs•(1 + sin(ωt)), Δqs = 3.5 mW
    • Fréquences : 2π rd/s (1 Hz) et 200π rd/s (200 Hz)

  • Environnement :

    • Echanges thermiques négligés
    • Température ambiante non donnée

La température initiale est de 37°C.

  • Notes :
  • La théorie est basée sur l'hypothèse d'un substrat semi-infini, ce qui n'est pas modélisable, on prendra une largeur suffisante de substrat d'environ 2 mm. Pour le conducteur générant la puissance thermique, on prend comme caractéristiques, les valeurs du cuivre.
    Le conducteur est modélisé avec une épaisseur car la description de l'exemple indique, que c'est la valeur moyenne volumique de la température qui est utilisé comme grandeur mesurable. Il faudra utiliser un contour pour sélectionner "metal strip" lors du calcul dans le post-processeur.
  • La puissance volumique du label "metal strip" est calculée simplement par 3.5 mW / (100µm•3.5 mm = volume strip)
  • Il y a deux ensemble de fichiers :
    L'un créé avec Static Heat Transfer sert définir la température du régime constant, l'autre qui importe le champ de température initial est créé avec le module Transient Heat Transfer. Il permet de calculer les variations de températures autour de l'état initial.
  • Remarque importante : L'exemple comme le modèle sont des approches d'un phénomène délicat mesurer. Les informations données dans le texte de l'exemple ne permettent de réaliser le modèle qu'avec des hypothèses. On ne pourra conclure que l'un est meilleur que l'autre, au mieux ils permettent la mise au point d'un banc de mesure. A ce titre le document
    "Non-idealities in the 3ω method for thermal characterization in the low- and high-frequency regimes" (fichier pdf)
    permet d'aller plus loin dans l'utilisation de cette méthode.

  • Questions : les valeurs valider sont :

    ΔT(@ 1 Hz) = 1.37 K (question 1), ΔT(@ 100 Hz) = 0.71 K (question 2) et
    ksubstrat = 1.11 W/m•K.

Le modèle est schématisé comme ci-dessous :

3 omega method : simplified geometry

Caractéristique d'un nanomatériau : description

  • Réponse question 1 :
caractéristique simulation exemple
ΔT (K) 1.44 1.37

3 omega method : tkfab plot @ 1 Hz

Tracé de la température @ 1 Hz

  • Réponse question 1 :
caractéristique simulation exemple
ΔT (K) 0.36 0.71

3 omega method : tkfab plot @ 100 Hz

Tracé de la température @ 100 Hz




Remarque : Le fichier zip contient deux problèmes "transient" : 1 et 100 Hz et un problème "dc" qui donne l'état d'équilibre. Le fichier "mod" est commun tous les problèmes
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Exemple 5.11 : Paroi - brusque échauffement

Un élément de réacteur nucléaire représenté par une paroi est refroidi sur ses deux faces. La géneration de puissance interne est brusquement doublée.

  • Données :
  • épaisseur paroi : 20 mm
  • coefficient de convection des faces : 1100 W/K•m²
  • caractéristiques thermiques : k = 30 W/K•m , α (diffusivité) = 5.0 10-6
  • T : 250 °C

La puissance volumique double brusquement, passant de 10 MW/m³ à 20 MW/m³.

  • Question :
  • Quelle est la répartition de température après 1.5 secondes ? Quelle est cette répartition pout t = ∞ ( ici 100 s). On choisit deux points de comparaison.
fuel element of a nuclear reactor : simplified geometry

Points de mesure

  • Réponse (tracé) :

  • Notes :
  • Le modèle contient deux problèmes, *_dc.pbm et *.pbm, le premier permettant de calculer le champ de température initial, condition initiale à t = 0 du problème *.pbm
  • Quickfield n'utilise pas la diffusivité, on pourra choisir ρ = 8000 kg/m³ et en déduire Cp = 750 J/kg•K puisque α = k/(ρ•Cp )
  • Réponse :
caractéristique simulation exemple
T∞ @ 0,0 (°C) 465.1 465.15
T∞ @ 0,10 (°C) 431.85 431.82

Les valeurs simulées et calculées correspondent, mais pour les valeurs de départ,

Temperature plots at two points - zoom

Tracé de 0 à 20 s

L'algorithme proposé dans l'exemple n'est pas assez précis pour montrer la montée brutale de la température.


Temperature plots at two points

Valeur des températures en fonction du temps.



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