Exemple 7.1 : Convection sur une plaque isotherme

Pour cet exemple, il n'y a pas de fichiers "QuickField" car il s'agit d'un simple calcul d'un coefficient de transfert thermique. Pour une pré-étude, on peut utiliser les coefficients d'échange donnés ici : "Coefficients de convection".
Dans des cas particuliers il est nécessaire de faire un calcul (sans pour cela utiliser un logiciel de mécanique des fluides), par exemple en cas de dépression comme pour la situation décrite dans le croquis ci-dessous :

• Quelle est la puissance thermique issue de la plaque par mètre de largeur ?

• Hyp. : la viscosité cinématique est inversement proportionnelle à la pression.

• Réponse :

h dépend de Nu (nombre de Nusselt) qui dépend de Re (nombre de Reynolds), calculé en fonction de ν (viscosité cinématique).

1. Calcul de ν (viscosité cinématique)

ν est donné par interpolation par la table A.4 du livre cité en référence ci-dessus soit
23.12e^-6 m²/s (@ 1 atm) . Soit pour la pression donnée : 23.12e^-6x(1.0133e⁵/6.0e³) = 3.9e^-4 m²/s


2. Calcul de Re (nombre de Reynolds)

Re est donné par la relation
Re = u_∞ x (L / ν) = 10.0x(0.5/3.9e^-4) = 12 820.0 (==> écoulement laminaire)


3. Calcul de Nu (nombre de Nusselt)

Nu = 0.664xRe^1/2xPr^1/3 = 0.664x12820^1/2x0.696^1/3 = 66.53


4. Calcul de h (coefficient de transfert thermique)

Enfin h est donné par
h = (Nu x k) / L, avec k conductictivité thermique donnée par interpolation : 0.031 W/K•m
soit h = (66.53x0.031)/0.5 ≅ 4.125 W/K•m²

En définitive, puisque P = h x L x (T_plaque - T_∞),
P ≅ 95 W/m.

Exemple 7.2 : Convection sur une plaque chauffée

Une plaque est maintenue à une température constante de 230 °C. Pour assurer ce maintien, elle est divisée en 6 parties chacune renfermant une résistance électrique. On recherche la puissance électrique nécessaire pour chacun de ces éléments. Les résultats entre exemple et simulation sont différents, l'exemple utilisant les valeurs moyennes de h. La dépendance de h en x^-1/n est mal prise en compte, la simulation est ici bien plus précise.

• Données :

• Largeur plaque : 1 m, longueur : 0.3 m
• Longueur élément : 0.05 m
• Température environnement : 25 °C
• Vitesse air : 60 m/s (1 atm.)

• Quelle est la puissance électrique nécessaire pour maintenir chaque élément à 230 °C?

• Notes : La solution littérale impose la température et le coefficient de transfert thermique sur la surface de la plaque ce qui n'est pas compatible avec l'algorithme utilisé. On définit donc une épaisseur (10 mm) et une conductivité thermique proche de celle de l'inox (k = 14 W/K•m) .

• Réponse :

Il faut déterminer le coefficient h_moyen du premier élément et vérifier à partir de quelle distance l'écoulement devient turbulent (les échanges thermiques deviennent alors plus efficaces). Cela permettra d'évaluer h(x) sur la longueur de la plaque.

1. Calcul de ν (viscosité cinématique)

(Remarque : bien que les seules températures disponibles soient 25 et 230 °C, le calcul de ν et fait pour 400 K soit 126 °C. Il s'agit d'un problème d'édition; on conservera cependant cette valeur pour comparer les résultats finaux.)
ν est pris directement à la valeur 26.41e^-6 m²/s par la table A.4 du livre cité en référence ci-dessus.


2. Calcul de Re (nombre de Reynolds)

Re est donné par la relation (premier élément soumis à un air de 60 m/s)
Re = u_∞ x (L / ν) = 60x(0.05/26.41e^-6) = 1.14e⁵ (==> écoulement laminaire)


3. Calcul de Nu (nombre de Nusselt)

Nu = 0.664xRe^1/2xPr^1/3 = 0.664x1.14e⁵x0.69^1/3 = 198


4. Calcul de h (coefficient de transfert thermique)

h = (Nu x k) / L, avec k conductictivité thermique donnée : 0.0338 W/K•m
soit h = (198x0.0338)/0.05 ≅ 134 W/K•m²

• Téléchargement : Fichiers Pro (≅ 2000 noeuds)   (50 Ko)

La vitesse de l'air étant rapide, on détermine l'abscisse à partir de laquelle l'écoulement devient turbulent, puis on définira la valeur h(x) sur l'ensemble de la plaque.

1. Calcul de Xc

X_critique est tiré par la relation
Re = u_∞ x (Xc / ν) ==> Xc = (26.41e^-6/60)x5.0e⁵,
soit Xc = 0.22 m.
(5.0e⁵ est la valeur du nombre de Reynolds quand l'écoulement devient turbulent)


2. Expression de h(x) (coefficient de transfert thermique)

h est de la forme
imp(x,0,0.22)•h_lam(x)+imp(x,0.22,0.3)•h_turb(x)
(imp(x,x0,x1) = 1 pour x0≤x≤x1 et = 0 ailleurs, c'est la fonction "impulse" de QuickField )
avec h_lam(x)∼x^-1/2 et h_turb(x)∼x^-1/5.
Pour l'écoulement laminaire, on a ∫a•x^-1/2 = 134 pour x = 0 à 0.22, soit a≅40.
Le rapport de h_moyen entre laminaire et turbulent est de 2.85 (c'est le rapport des nombres de Nusselt des deux conditions), donc on obtient ∫b•x^-1/5 = 381.9, soit b≅240.

En définitive,
imp(x,0,0.22)•40x^-1/2+imp(x,0.22,0.3)•240x^-1/5

h(x) : discontinuité laminaire/turbulent

Le tableau suivant donne les puissances électriques nécessaires pour compenser les pertes thermiques (hors rendement électrique/thermique). L'énoncé de l'exemple demandait uniquement les éléments nécéssitant le plus de puissance, "non calculé" correspond à une absence de calcul, pas à une impossibilité.

Exemple 7.4 : Convection sur cylindre métallique

Comme pour l'exemple 7.1, il n'y a pas de fichiers "QuickField" car il s'agit d'un simple calcul d'un coefficient de transfert thermique. Pour une pré-étude, on peut utiliser les coefficients d'échange donnés ici : "Coefficients de convection".

• Données :

• Longueur cylindre : 94 mm, diamètre : 12.7 mm
• Température surfacique moyenne du cylindre : 128.4 °C
• Température environnement : 26.2 °C
• Vitesse air : 10 m/s (1 atm.)

• Quel est le coefficient de transfert thermique du cylindre ?

• Approximation : Pour les valeurs tabulées, T_{environnement} = 300 K, T_{surf. cylindre} = 400 K.

• Réponse :

Le calcul dépend d'une relation obtenue par corrélation par A. Zukauskas ( Fundamentals of Heat and Mass Transfer - 7th Edition Wiley - eq 7.53 - page 458 ) : Nu = C•Re^m•Prⁿ•(Pr/Pr_s)^1/4
Avec :

• Nu : nombre de Nusselt, calculé à T_{environnement}
• Re : nombre de Reynolds, calculé à T_{environnement}
• Pr : nombre de Prandtl, calculé à T_{environnement}
• Pr_s : nombre de Prandtl, calculé à T_{surf. cylindre}
• C, m : constantes dépendantes de Re, données par un tableau

1. Calcul de Re
Re = (vitesse air)•(Φ cylindre)÷(viscosité cinématique)
La viscosité cinématique étant donné par la table A.4 du livre cité en référence ci-dessus.
ν = 15.89e^-6 m²/s (@ 1 atm), soit :
Re = (10×0.0127)÷15.89e^-6= 7992
2. Estimation de Pr
Pr = 0.707 @ 300 K est donné par la table A.4 (Thermophysical Properties of Gases at Atmospheric Pressure - - Fundamentals of Heat and Mass Transfer - 7th Edition Wiley - page 995 )
3. Estimation de Pr_s
Pr_s = 0.690 @ 400 K (cf. table A.4)
4. Estimation de C, m et n_s
C = 0.26 et m = 0.6, selon la table 7.4 (page 459). n = 0.37 (n a deux valeurs selon la corrélation faite : n = 0.37 si Pr ≤ 10 et n = 0.36 si Pr > 10)

Le calcul pour Nu donne
Nu = 0.26×7992^0.6×0.707^0.37×(0.707÷0.690)^0.25
soit Nu = 50.52

En définitive, puisque h = Nu•(k/D_cyl.) , h = 50.52×(0.0263÷0.0127) = 104.62 W/K•m²
k est la conductivité thermique de l'air à 300 K - table A.4.

Exemple 7.5 : Stockage d'hydrogène par adsorption

Pour une application automobile de l'hydrogène est adsorbé dans un cylindre fait d'un métal composite fritté. On souhaite connaître la puissance nécessaire pour déadsorber l'hydrogène de ce "réservoir". Cet exemple va comparer deux solutions :

• En calculant le coefficient de transfert thermique moyen du cylindre
• En calculant le coefficient de transfert thermique local puis en intégrant sur le cylindre

Unité de stockage dans l'air ambiant

• Données :

• Longueur cylindre : 800 mm, diamètre intérieur : 100 mm
• Inox : Epaisseur 5 mm, conductivité thermique : 13.4 W/K•m
• Puissance nécessaire : 3982 W
  (le pré-calcul est donné dans l'énoncé. Il utilise la consommation massique et l'énergie endothermique de la réaction, le développement de ce calcul n'est pas utile ici.)
• Température environnement : 23 °C
• Air : Vitesse = 25 m/s (1 atm.),
  viscosité cinématique (ν) = 14.56^-6 m²/s
  conductivité thermique = 25.2^-3 W/K•m,
  

• I Calculs avec le coefficient transfert thermique moyen

Le calcul dépend d'une relation obtenue par corrélation par Churchill et Berstein, qui est plus générale que la relation de A. Zukauskas ( voir exemple précédent ) puisqu'elle valable pour tout nombre de Reynolds si Pr > 0.2 ( Fundamentals of Heat and Mass Transfer - 7th Edition Wiley - eq 7.54 - page 458 ) : Nu =
0.3 + [(0.62•Re^1/2•Pr^1/3)/(1 + (0.4/Pr)^2/3)^1/4]•[1 + (Re/282000)^5/8]^4/5
Avec :

• Nu : nombre de Nusselt, calculé à T_{environnement}
• Re : nombre de Reynolds, calculé à T_{environnement}
• Pr : nombre de Prandtl, calculé à T_{environnement}

1. Calcul de Re
Re = (vitesse air)•(Φ cylindre)÷(viscosité cinématique),
avec Φ cylindre = 0.1 + 2x0.005
Re = 25x0.11÷14.56^-6= 188 873


2. Estimation de Pr
Pr est donné par la table "Thermophysical properties of gases at atmospheric pressure" en annexe. Par interpolation pour 298 K, Pr = 0.712.

Le calcul pour Nu donne, Nu = 434.5

En définitive, puisque h = Nu•(k/D_cyl.) , h = 434.5×(25.2^-3÷0.11) = 99.3 W/K•m²

Le modèle est créé dans le problème "ex_7p5_hydrogen_storage_canister_constant_h.pbm", la puissance thermique apportée par l'environnement est visualisée en chargeant le fichier "ex_7p5_hydrogen_storage_canister_constant_h.sst" puis en cliquant "integral calculator" / "Heat flux" : 549.6 W.

• II Calculs avec le coefficient de transfert thermique local

Ce calcul suppose que l'on connaisse le type d'écoulement de l'air le long du cylindre et donc le nombre de Nusselt. Soit φ l'angle définissant le point où se font les échanges. Pour simplifier, l'échange thermique diminue de 0 à 80° puis augmente l'écoulement devenant turbulent. La littérature donne ce genre de courbe avec pour parametre le nombre de Reynolds.

Ecoulement de l'air le long du cylindre

Pour utiliser ces données dans QuickField™ on procède de la façon suivante :

1. Calcul du coefficient de transfert thermique local (h)
A partir de la courbe donnant le nombre de Nusselt Nu, on calcule h avec la relation h = Nu•(k/D_cyl.)
2. Linéarisation des données
Les points obtenus permettent d'obtenir une série de segments de droite: (il est préférable de linéariser plutôt que d'interpoler avec un polynome.)
3. Définition du label dans QuickField_s
La fonction impulse permet de déclarer la validité de chaque segment, par exemple
impulse(phi,0.0,80.0)*(-0.353145*phi + 141.258 ) valide la valeur h = -0.353145*phi + 141.258 pour phi allant de 0 à 80°.

Le modèle est créé dans le problème "ex_7p5_hydrogen_storage_canister.pbm", la puissance thermique apportée par l'environnement est visualisée en chargeant le fichier "ex_7p5_hydrogen_storage_canister.sst" puis en cliquant "integral calculator" / "Heat flux" : 747 W

Flux thermique le long du cylindre (abscisse : angle)

• En définitive :

Sauf particularité du cylindre à étudier, il est préférable d'utiliser le calcul à h constant qui est moins précis, mais plus pessimiste. La puissance électrique à apporter au canister est donc 3982 - 549.6 = 3432.4 W.

• Téléchargement : Fichiers Pro (≅ 1000 noeuds)   (50 Ko)

Exemple 7.6 : Goutte d'encre (cooling)

Une imprimante à jet d'encre émet des gouttes sphériques vers un circuit imprimé. Celles-ci se refroidissent sur leur parcours qui doit avoir une valeur telle que la goutte d'encre parvienne au circuit imprimé à une température déterminée. Dans cette partie, la goutte d'encre se déplace à vitesse constante.

Principe du dépôt d'encre

• Données :

• goutte d'encre : Φ = 55 μm, ρ = 2400 kg/m³, C = 800 J/kg.K, k = 50 W/K.m, T_init = 200 °C
• air : T = 25 °C, ρ = 1.002 kg/m³, k = 0.0261 W/K.m, ν (viscosité cinématique) = 15.71e^-6 m²/s, Pr = 0.708

• Quelle est la distance nécessaire pour parvenir à une température de 50 °C avant L'impact sous une vitesse constante durant toute la trajectoire ?

• I Calculs des différents coefficients

1. Calcul de Re et de la vitesse de la goutte d'encre

m_g•d²x/d²t = F_gravitation - F_déplacement - F_traînée
avec
F_gravitation = ρ_encre•g•π(Φ³/6)
F_déplacement = ρ_air•g•π(Φ³/6)
F_traînée = 0.5•C_x•(πΦ²/4)•(ρ_airV²)

Pour une vitesse constante, on a nécessairement : m_g•d²x/d²t = 0, d'où en négligeant F_déplacement ( ρ_air << ρ_encre ) :
ρ_encre•g•π(Φ³/6) = 0.5•C_x•(πΦ²/4)•(ρ_airV²)

Mais d'après la loi de Stokes pour une sphère :
C_x = 24/Re. Le nombre de Reynolds étant égal à V•Φ/ν (vitesse_air•Φ_sphère/viscosité cinématique), C_x = 24ν/V•Φ en remplaçant : ρ_encre•g•π(Φ³/6) = 0.5•(24ν/V•Φ)•(πΦ²/4)•(ρ_airV²)
⇒ V = (ρ_encre/ρ_air)•(g/ν)•(Φ²/18)
Soit 0.252 m/s et Re = 0.88 .

2. Estimation de Pr

Pr est donné par la table A.4 "Thermophysical properties of gases at atmospheric pressure" en annexe du livre Fundamentals of Heat and Mass Transfer 7ème édition (Wiley). Par interpolation pour 298 K, Pr = 0.708.

3. Estimation de ν (Nu)

Re étant faible, on utilise la relation de corrélation Ranz and Marshall
: Nu = 2 + 0.6•Re^1/2•Pr^1/3, soit Nu = 2.502.

• II Calcul du coefficient de transfert thermique

En définitive, puisque h = Nu•(k/Φ) , h = 2.502×(0.0261÷55e^-6) = 1187 W/K•m²

Le modèle est créé dans le problème "ex_7p6_ink_droplets.pbm", la température moyenne du volume est proche des températures de la périphérie et du centre, l'approximation faite dans l'exercice théorique (sphère ramenée à un point) est acceptable.

• III Modèle QuickField™

Le type de modèle est axisymétrique et thermique transitoire. Depuis la version 6.3, la température initiale du système, si elle est uniforme peut être déclarée dans l'onglet "Problem Properties / Timing" soit 200 °C. Le pas de calcul est fixé à "automatic". La géométrie est simplissime :

Schématisation d'une goutte d'encre

Après une simulation de 0.1 s, on exporte le tracé obtenu par le calcul "Average volume temperature" du contour importé du fichier "ex_7p6_ink_droplets.sst". Une conversion vers le format csv avec TkFab permet de mesurer le temps recherché (voir tableau ci-dessous) :

Unité de stockage dans l'air ambiant

• IV En définitive :

Avec QuickField™ vitesse = 0.252 m/s, distance = 0.252 x 0.0315 = 7.94 mm, tandis que le calcul théorique (avec l'approximation de la goutte ramenée à un point) donne vitesse = 0.252 m/s, distance = 0.252 x 0.0293 = 7.38 mm

Il y a une légère différence, mais l'approximation faite dans l'exemple du livre de référence est tout à fait acceptable.

• Téléchargement : Fichiers Student (≅ 100 noeuds)   (60 Ko)

		
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|   At y  |                  value x such that y = f(x)                  |
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|  units  |         -         |           s           |         -        |
--------------------------------------------------------------------------
|  names  |       index       |          Time         |        Tv        |
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|  value  |         0         |       0.0315433       |       50.0       |
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| Summary |  Date : 28 Mar 2022 Time : 09:32 Number of measurements : 1  |
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