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Sommaire - 1D, Steady-State Conduction


Chaque exemple comprend l'énoncé du problème, ses données, sa résolution. Il est possible de le lire ( et le résoudre avec Student's QuickField si le nombre de noeuds le permet !)

( Ci-dessous , Bleu : information sans cliquer. Vert : lien interne. Orchid : lien externe. )

Ref : T. L. Bergman, D. P. Dewitt, F. P. Incropera, A. S. Lavine : Principles of Heat and Mass Transfer


 

Exemple 3.1 : Combinaison isolante

L' énoncé de l'exemple Température de l'épiderme, est repris en ajoutant une couche isolante de gel nanostructuré pour supporter un environnement à 10 °C. Cela signifie que l'ensemble du corps ne doit pas perdre une puissance thermique de plus de 100 W.

  • Données :
  • conductivité gel : 0.014 W/K•m
  • émissivité de le surface externe : 0.95
  • Quelle doit être l'épaisseur de cette combinaison isolante lorsque le milieu est l'air, l'eau ?
  • Le calcul est fait relativement à une surface de 1 cm², on réalise donc une optimisation avec LabelMover avec pour objectif une puissance de 100 W × ( 1 cm² ÷ 1.8 m² ) = 0.0055 W.
  • Réponses :
  • Réponse exemple : épaisseur (pour air) = 4.4 mm, épaisseur (pour eau) = 6.1 mm.
  • Réponse simulation : épaisseur (pour air) = 4.2 mm, épaisseur (pour eau) = 6.1 mm.
  • Note : Pour l'air QuickField prend en compte la radiation en T4, alors que l'exemple du livre est traité par équivalence, ce qui explique la différence d'épaisseur dans le cas de l'air.
isolation suit

Peau et combinaison isolante


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Exemple 3.2 : Composant électronique sur substrat

Une puce électronique adhère à un substrat aluminium par une couche d'époxy de 0.02 mm, les deux faces du composant final sont soumis à un passage d'air forcé.

  • Données :
  • Géométrie
  • Tenvironnement = 25 °C
  • Coefficient de convection : 100 W/K•m²
  • Notes :
  • Dans leur livre, Theodore L. Bergman, David P. Dewitt, Frank P. Incropera, et Adrienne S. Lavine utilisent pour les couches très mince, une notion de résistance équivalente. Dans leurs exemples, ces couches n'ont pas d'épaisseur, ce qui n'est pas possible dans QuickField.
    Par exemple, la couche epoxy d'épaisseur 0.02 mm ( "Silicon chip/aluminum with 0.02-mm epoxy"), est donné par 0.2-0.9 10-4 m²•K/W.
    Pour trouver la conductivité thermique équivalent, il faut diviser cette valeur par l'épaisseur soit
    lamdaepoxy = 0.02e-3 ÷ 0.9e-4 = 0.222 W/K•m.
  • La température du semi-conducteur dépasse-t-elle les 85°C ?

chip on substrate

Schéma de principe

  • Réponse :
  • exercice : 75.3 °C.
  • simulation : 74.8 °C. (température moyenne volumique)
  • Remarque : La différence vient du gradient de température supplémentaire de la couche époxy.

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Exemple 3.3 : Panneau solaire

Une cellule solaire est disposée entre un substrat aluminium et du verre. Seule la face supérieure du panneau solaire est soumise à des échanges thermiques.

  • Données :
  • Géométrie
  • Conductivités thermique des matériaux
  • Tenvironnement = 20 °C
  • Coefficient de convection : 35 W/K•m²
  • Rayonnement solaire : 700 W/m²
  • Caractéristique interface : 7% réflexion, 10% absorbé, 83% transmis, émissivité du verre : 0.9
  • Notes :
  • Dans une seconde partie, on tiendra compte du rendement de la cellule soleire, donné par
    η = 0.553 - 0.001•Tsilicium
  • Quelle est la température du silicium à l'équilibre ?
photovoltaic panel model

Schéma de principe - panneau solaire

  • Réponse :
  • exercice : 34 °C.
  • simulation : 34.3 °C.
  • Remarque : La différence vient de la méthode de calcul (1D vs FEA).

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Exemple 3.4 : Nanotube - caractéristique thermique

Un microsystème construit sur du nitrure de silicium est formé de deux poutres chacune ayant un plateau; l'un est une source de chaleur, l'autre sert de capteur de température. Un nanotube est disposé entre ces deux plateaux, transmettant ainsi la chaleur. La source de chaleur ("heated island", via un courant électrique), la température du capteur ("sensing island") sont connues.

  • Données :
  • Géométrie
  • Conductivités thermique des matériaux
  • Tenvironnement = 300 K
  • convection et radiation : négligeables
  • Puissance source : 11.3 µW
  • Température mesurée : 308.4 K
  • Notes :
  • Chaque poutre est divisée en longueur de 5 m dont on modélise la moitié; Chaque plateau est divisé en quatre partie à laquelle, on rattache un segment de 5 de poutre. On impose un ΔT de 1 °C à chaque extrémité. Soit Pi la puissance thermique passant par la section, on obtient :
    Rthi = ( 1/Pi)/2 (÷2 car la moitié a été modélisée).
    A.N.: Soit puisque L = 250 (branche) + 5 (plateau) = 245 (branche) + [ 5 (branche) + 5 (plateau) ]
    Rth_heating = Rth_sensing = 49*145053 + 224486 = 7332083 K/W.
  • On utilise ensuite l'analogie Tension ↔ Température pour résoudre le système à l'aide de LabelMover .
  • Pour comparer la simulation et l'exercice, à partir de la résistance thermique donnée par LabelMover , on calculera la conductivité thermique en utilisant la relation R = L/(k×S).
  • Quelle est la résistance thermique du nanofil ?
  • Réponse :
  • exercice : knanofil = 3113 W/m•K.
  • simulation : knanofil = 3031 W/m•K.
  • Remarque : La différence vient de la méthode de calcul (1D vs FEA).
  • Téléchargement :

thermal conductivity of a nanotube measured with a wafer

Légende : nanotube - caractéristique thermique.

1 - nanotube; 2 - branche (source thermique);
3 - branche (capteur thermique); 5 - platine;
4 plaquette en nitrure de silicium.

thermal conductivity of a nanotube measured with a wafer

Calcul des éléments des poutres

thermal conductivity of a nanotube measured with a wafer

Schéma 1D du système


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Exemple 3.5 : Forme conique

Un cône en pyro-céramique est isolé sur sa périphérie. Les températures à sa base et à son sommet sont connues.

  • Données :
  • Géométrie
  • Conductivités thermique des matériaux
  • Tbase = 400 K, Tsommet = 600 K
  • Aire latérale isolée
  • Notes :
  • L'exercice est simple, mais servira à vérifier l'influence du maillage sur la précision du calcul; le maillage proposé est de l'ordre de 8 000 noeuds.
  • Quelle est le flux thermique ?
  • Réponse :
  • exercice (solution littérale) : Q = -2.12 W.
  • simulation : QT1 = -2.0853 W , QT2 = -2.113 W.

conical shape

  • Téléchargement :

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Exemple 3.6 : Optimisation de l'isolation d'un tube

Un tube de diamètre 10 mm est utilisé pour le transport d'un fluide caloporteur, on cherche une épaisseur d'isolant pour lequel il y a le moins de pertes thermiques.

  • Données :
  • Géométrie
  • Conductivités thermique des matériaux
  • Tenvironnement = undef , Tfluide = undef
  • coefficient de convection : 5 W/K•m²
  • Notes :
  • L'excercice du livre "Principles of Heat and Mass Transfer" de Theodore L. Bergman, David P. Dewitt, Frank P. Incropera, et Adrienne S. Lavine (Ed. Wiley) propose une solution littérale générale, ce qu'il n'est pas possible de reproduire avec un logiciel utilisant le calcul numérique. On utilisera alors les données numériques suivantes : Tenvironnement = 300 K , Tfluide = 273 K. La présence d'un optimum dépend des caractéristiques et conditions thermiques.
  • Existe-t-il une épaisseur d'isolant optimum ?
  • Réponse :
  • exercice : non, mais il existe un rayon pour lequel la dissipation est maximum et égal à k÷h = 11 mm, soit une épaisseur de 6 mm.
  • simulation : non, l'optimum étant un maximum, une recherche d'optimisation donne une épaisseur de 6.06 mm.
  • Téléchargement :

optimum insulation thickness of a tube

Labelmover parametrics analysis

Analyse paramétrique

Labelmover optimization

Recherche de l'épaisseur critique


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Exemple 3.7 : Mur composite

Une paroi (A) génératrice de chaleur est refroidie par de l'eau par l'intermédiaire d'un revêtement (B).

  • Données :
  • Géométrie
  • Conductivités thermique des matériaux
  • Teau = 30 °C
  • coefficient de convection : 1000 W/K•m²
  • Tracé de la température
  • Réponse : Voir l'image ci-contre
  • Téléchargement :

composite wall description

Modèle de mur composite

Labelmover parametrics analysis

Température = f(épaisseur)


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Exemple 3.8 : Température max dans un tube

Un fluide circule dans un tube isolé thermiquement. Ce fluide est utilisé pour refroidir le tube dans lequel est générée une puissance thermique.

  • Données :
  • Géométrie
  • Conductivités thermique des matériaux
  • Tfluide = 80 °C
  • Puissance thermique : 2.5, 5 et 7.5 MW/m³
  • Tracé de la température en fonction du coefficient de convection entre le fluide et la paroi interne.
  • Notes : On utilise LabelMover pour relever la température en fonction du coefficient de convection.

maximum temperature in tube

Température tube = f(h) pour 2.5, 5 et 7.5 MW/m³

  • Réponse : Voir l'image ci-dessus
  • Téléchargement :

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Exemple 3.9 : Ailette de section circulaire

Etude d'une ailette simple, exposée à l'air ambient. Choix du matériau : cuivre, aluminium ou acier.

  • Données :
  • Géométrie
  • kcu = 398 W/K•m, kal = 180 W/K•m, kinox = 14 W/K•m
  • Tbase = 100 °C
  • air ambient : h = 100 W/K•m², Tambient = 25°C
  • A partir de quelle longueur l'ailette n'est-elle plus efficace ( pour resp. : inox, aluminium, cuivre ).
  • Notes : Un fichier "contour" (*.sst) est disponible.

temperature along the rod

Température sur la surface externe de l'ailette

  • Réponse : Voir l'image ci-dessus ( resp. 50, 200 et 300 mm )
  • Téléchargement :

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Exemple 3.10 : Refroidissement d'un monocylindre

Etude en 2.5D et 3D d'un bloc monocylindre. Calcul de la puissance évacuée, avec ou sans ailettes.

  • Données :
  • Géométrie
  • kaluminium = 186 W/K•m, h = 50 W/K•m²
  • Tair = 300 K, Tcylindre = 500 K
  • Quelle est la contribution des ailettes à l'évacuation thermique ?
  • Réponse : Voir le tableau ci-contre. Pour le modèle 3D, il ne faut pas tenir compte des faces situées sur les côtés.
  • Notes : Un fichier "contour" (*.sst) est disponible pour chacun des modèles 2.5D. Ceux-ci sont dans un seul problème, alors qu'il y a deux problèmes pour le modèle 3D (avec et sans ailette).
  • Téléchargement :

thermal model of a simple thermal engine

Modèle thermique d'un monocylindre

Modèle Valeur (W)
3D sans ailette 221.6
3D avec ailettes 682.2
3D différence (QuickField) 460.6
2.5D sans ailette 235.9
2.5D avec ailettes 682.2
2.5D différence (QuickField) 446.3
3D sans ailette 236
3D avec ailettes 690
3D différence (exercice) 454

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Exemple 3.11 : Refroidissement d'une pile à combustible.

L'exemple est la suite de l'exemple 1.5 : Refroidissement d'une membrane PEM, dans lequelle la cellule de la pile à combustible génère une puissance électrique de 9 W mais est l'origine d'une réaction exothermique de 11.25 W.

Pour refroidir cette cellule disposée dans un caisson on dispose d'un ventilateur dont la caractéristique est donnée param P = C×debit_volumique avec C = 1000 W/(m³/s).on souhaite que le système soit auto-alimenté, prenant 50% de la puissance électrique soit 4.5 W. Ce qui donne avec :
P = C×v×S ( S section vue par le flux d'air = N×section entre ailettes)
L'exercice original donne 4.7 m/s. Une convection forcée minimum que l'on choisira égale à 25 W/K•m² ( voir tableau - coefficients de convection ).

  • Données :
  • Géométrie
  • kaluminium = 200 W/K•m, kcontact = 0.1 W/K•m
  • convection forcée : h = 25 W/K•m²
  • Tair = 25 °C
  • Notes :
  • Le contact radiateur/pile est défini par une résistance thermique de valeur 10e-3 K•m²/W.
    Pour le modéliser, on a choisi une épaisseur de 0.1 mm, obtenant kequivalent = 10e-3×0.1e-3 = 0.1 W/K•m.
  • La puissance thermique à évacuée est modélisée par une puissance surfacique sur le segment "pile combustible" par la valeur q = 900 W/m². ( q = 4.5 / ( 2×S ) et S = 50e-3×50e-3 ).

thermal model of a fuel cell

Modèle du refroidissement d'une pile à combustible

  • Quelle est la température de la cellule ?
  • Réponse :
  • exercice : 54.4 °C (avec h = 19.1 W/K•m² donné par une formule non justifiée).
  • simulation : 48.3 °C (avec = 25 W/K•m²).
  • Note : Un fichier "contour" (*.sst) est disponible pour calculer et vérifier que la valeur du flux thermique corespond avec la puissance thermique de la réaction dans la pile à combustible.
heatsink for fuel cell

Pile à combustible avec radiateurs


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Exemple 3.12 : Equation bio-thermique

L'épiderme est soumis à deux environnements, on souhaite estimer la température superficielle ainsi que la puissance thermique perdue.
Cet exemple fait suite à Exemple 1.7 : Température de l'épiderme. Ici, au lieu de l'hypothèse d'une température interne connue, on utilise l'équation bio-thermique de Pennes:
²T/∂x² + (qm + qp)/k = 0 (1)
avec :

  • T (K) : température , x (m) : abscisse
  • k (W/m•K) : conductivité thermique du milieu
  • qm (W/m³) : source de chaleur du métabolisme
  • qp (W/m³) : source de chaleur de la perfusion tissulaire

qm : valeur constante, ici 700 W/m³
qp : ω•ρs•Cs•(Ta - Tt) (2) avec :

  • ω (s-1) : débit volumétrique (m³/s) du sang par m³ de tissu, ici 0.0005.
  • ρs (kg/m³) : masse volumique du sang (ici 1000.0).
  • Cs (J/kg•K) : capacité thermique massique du sang (ici 3600.0).
  • Ta (K) : température artère, ici 37 C
  • Tt (K) : température tissu, inconnue.

  • Données :
  • épaisseur épiderme : 3 mm, muscle : 30 mm
  • surface épiderme : 1.8 m²
  • émissivité épiderme : 0.95
  • environnement air : h = 2 W/m²•K.
  • environnement eau : h = 200 W/m²•K.
  • Température interne = température artère .
  • Pour les deux environnements, quelle est la température superficielle et la perte thermique ?
  • Informations :
  • Pour réduire le nombre de noeuds, on utilisera une surface de 1 cm². Il suffira de multiplier par 18000 le flux thermique obtenu par simulation. La tempéraure est identique que la surface soit 1 cm² ou 1.8 m².
  • L'eau étant opaque aux radiations thermiques, dans cet environnement la perte thermique par rayonnement est considérée nulle.
  • La chaleur interne est totale est
    q = 700 + ω•ρs•Cs•(37 - T)
    que l'on calcule en deux points : Tt | q = 0 et en T = 40°C que l'on reporte dans Q = Q(T) du block "muscle" .

bioheat equation : muscle - skin

Echange thermique muscle - peau - environnement

  • Réponses :
  • Environnement "air" :
    • simulation : T = 34.76°C , P = 142.48 W
    • exercice : T = 34.8 °C, P = 142 W
  • Environnement "eau" :
    • simulation : T = 28.16 °C, P = 517.86 W
    • exercice : T = 28.2 °C, P = 514 W

Note : Une perte thermique, supportable par métabolisme dans un environnement normal, est de l'ordre de 100 W.

skin simple geometry

Modèle géométrique de l'épiderme


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Exemple 3.13 : Modules thermo-électriques - effet Seebeck

48 modules thermo-électrique à effet Seebeck sont disposés sur un un tube inox dans lequel passe un gaz chaud. On récupère cette chaleur par un écoulement d'eau pressurisée qui refroidit également ces modules. La puissance électrique générée est une fonction linéaire de la différence de température :

N•(I•S•ΔT - 2•Ri•I²) (1)
avec :

  • N (-) : nombre de modules = 48
  • S (V/K) : coefficient thermo-électrique = 0.1435
  • I (A) : courant généré par le module
  • ΔT (K) : différence de température
  • Ri (Ω) : résistance interne du module

Les modules débitent sur une charge RL = 400 Ω.
on a donc : N•(I•S•ΔT - Ri•I²) = RL•I² (2)

set of Seebeck thermoelectric modules

Disposition module Seebeck

  • Données :
  • Géométrie
  • kmodule = 1.2 W/K•m, kinox = 15 W/K•m
  • convection eau : h = 500 W/K•m² , Teau = 105°C
  • convection gaz : h = 40 W/K•m² , Tgaz = 550°C
  • Quelle est la puissance électrique fournie par les 48 modules, la charge ayant une résistance de 400 Ω ?
  • Informations :
  • On réalise la simulation d'un point de vue purement thermique en négligeant la puissance volumique extraite par l'effet Seebeck. Aprés simulation, on en déduit ΔT, ici égal à (171.58 - 126.44) (contour avec solution en °C ) = 45.14 K. On résoud alors :
    (1) = (2) donnant un courant de 0.52 A.
    A postériori on vérifie que Pthermique ≪ Pélectrique
    Pour un module :
    - Pthermique = 29.31 W ( avec contour)
    - Pélectrique = (RL•I²)/N = 1.3 W

  • On peut aussi supposer que les pertes électriques du module égalent la puissance générée pour avoir un rendement optimal, donc que Pvolumique = ε.
Seebeck module setup

Disposition module Seebeck

  • Réponses :
  • simulation : P = 62.9 W
  • Exercice : P = 46.9 W

Note : La différence vient du modèle thermique; l'exercice considérant que la surface utile du module est composée de 100 jonctions modélisées par une résistance thermique équivalente pour estimer les puissances en jeu.

FEA model

Géométrie du modèle avec symétrie



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